На главную
 
использует технологию Google и индексирует только интернет- библиотеки с книгами в свободном доступе
 
 
  Предыдущаявсе страницы

Следующая    

Г. Г. ЦЕЙТЕН
МАТЕМАТИКИ В ДРЕВНОСТИ И В СРЕДНИЕ ВЕКА
стр. 94

Для прямых линий и для углов равенство тождественно конгруэнтности, но для ломаных линий, площадей и объемов равенство может существовать и без конгруэнтности; для доказательства равенства здесь приходится комбинировать между собой конгруэнтные части, согласно общим гипотезам о величинах. Первый пример этого встречается в "Началах". I, 35, когда Евклид доказывает, что параллелограмм с одинаковыми основаниями и высотой равновелики. Но только путем перехода к пределу можно установить величину кривых линий и поверхностей, величину плоской поверхности, ограниченной кривыми, а также величину большей части объемов: для получения их древние пользовались методом исчерпывания, причем приходилось вводить, отчасти, новые гипотезы. Мы это увидим при рассмотрении двенадцатой книги Евклида, а также при анализе трудов Архимеда. Зато мы должны тут же заметить, что способ применения Эвклидом в стереометрии аксиомы конгруэнтности, установленной им в 7-й аксиоме, содержит очень существенный пробел, а именно, полное отсутствие различения в его стереометрии между конгруэнтностью и симметрией. Но ясно, тем не менее, что Евклид не считает конгруэнтными симметрические фигуры, ибо в этом случае он считал бы, что 7-я аксиома является достаточной основой для определения объемов. Между тем, он устанавливает новую гипотезу, которая годится как для конгруэнтных, так и для симметрических фигур. Согласно 10-му определению одиннадцатой книги равны и подобны пространственные фигуры, ограниченные одним и тем же количеством равных и подобных (т. е. конгруэнтных) плоских фигур. Это определение содержит—кроме введения терминов — определенную геометрическую гипотезу, следовательно, аксиому,— именно, что фигуры эти обладают одинаковым объемом *, и в теореме XI, 29 аксиома эта служит для доказательства того, что параллелепипеды с равными основанием и высотой равновелики; кроме того, из нее можно заключить (XI, 28), что обе трехгранные призмы, из которых складывается параллелепипед, равновелики. Но мы знаем, что призмы, которые перемещают в первом доказательстве, конгруэнтны и что трехгранные призмы последней теоремы могут быть превращены путем перемещения их частей в конгруэнтные призмы. Однако Евклид, повидимому, не заметил этого, ибо тогда введение нового принципа для равенства тел было бы излишним и, следовательно, противоречило бы обычному его приему. * Коши (Cauchy) доказал, что фигуры этого рода, действительно, всегда конгруэнтны или симметричны. Седьмая аксиома была для указанной нами задачи только признаком геометрического равенства или, если угодно, определением этого равенства, но, во всяком случае, она содержит в себе крайне важную подлинную геометрическую гипотезу, или аксиому, выражающую тот факт, что в действительности, вообще, речь может итти о конгруэнтных фигурах, т.е. о перемещении фигур в другие части пространства. Согласно аксиоме Евклида геометре


  Предыдущая Начало Следующая    
 
 
 
 

DOWNLOAD THE ONLY FULL EDITIONS of

Sir John Froissart's Chronicles of England, France, Spain and the Ajoining Countries from the latter part of the reign of Edward II to the coronation of Henry IV in 12 volumes

Chronicles of Enguerrand De Monstrelet (Sir John Froissart's Chronicles continuation) in 13 volumes